две плоскости пересекаются это значит что

Помогите пожалуйста решить тест.

1. Пересечением двух плоскостей является
А) точка
Б) прямая
В) отрезок
2. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?
А) одна
Б) две
В) три
3. На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?
А) на два
Б) на три
В) на четыре
4. Чтобы задать единственную плоскость необходимо
А) две точки
Б) три точки
В) три точки, не лежащие на одной прямой
5. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?
А) две параллельные прямые
Б) две скрещивающиеся прямые
В) три точки
6. Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?
А) одну плоскость
Б) две плоскости
В) бесконечно много плоскостей
7. Через какие из перечисленных фигур можно провести единственную плоскость?
А) Через три точки
Б) Через прямую и не лежащую на ней точку
В) Через отрезок
8. Две прямые пересекаются. Что это значит?
А) Они имеют две общие точки.
Б) Они имеют одну общую точку.
В) Они лежат в одной плоскости.

9. Две прямые называются скрещивающимися, если
А) ни не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
Б) они не имеют общих точек.
В) они имеют одну общую точку.
10. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
А) они не имеют общих точек.
Б) они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.
В) они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.
11. Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
12. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
13. Укажите признак параллельности прямой и плоскости
А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны
Б) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Указать скрещивающиеся прямые с прямой CD. Указать прямые, параллельные прямой ВС.

Источник

Пересекающиеся плоскости

Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Содержание:

Понятие пересекающихся плоскостей

Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой . Плоскости и в этом случае являются пересекающимися по прямой (рис. 2.379).

Пример:

Дана плоскость . Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая .

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Плоскость (дано) (рис. 2.380).

2. Нужно доказать, что существует другая плоскость , пересекающая .

Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.

3. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости , и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую (построение) (рис. 2.381).

4. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость , и притом только одну (3, аксиома 3).

5. Плоскости и имеют общую точку (1, 3, 4).

6. Плоскости и пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).

7. Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая . (6)

Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости , что противоречит выбору точки С.

Двугранные углы

При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.

Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.

На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.

Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).

Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.

Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).

Определение. Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.

Определение. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.

Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.

Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Все сказанное можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 2. 1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Верна и обратная теорема.

Теорема 3. 1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.

Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.

Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.

Пример:

Из условия теоремы имеем:

1. PABQ и — два данных двугранных угла (рис. 2.388).

2. Вложим угол в угол АВ так, чтобы ребро совпало с ребром АВ, а грань — с гранью Р (построение) (рис. 2.389).

3. Если эти двугранные углы равны, то грань совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение (1, 2).

4. Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость , перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).

5. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.

Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань займет положение то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно ) (3, 4).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости с примерами

Содержание:

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости:

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.

Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.1 показано построение плоскости β, проведенной через заданную точку А(A»‘A’), параллельно заданной плоскости α(m//n).

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:

1-е действие. В заданной плоскости α, построить вспомогательную прямую, например, горизонталь h(h»h’), то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку А(A»‘A’) провести две пересекающиеся прямые b и d, параллельные двум пересекающимся прямым m и h заданной плоскости α:

Построенная плоскость β(b∩d) будет параллельна заданной плоскости α(m//n), так как две пресекающиеся прямые m и h плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной плоскости β.

Параллельность прямой и плоскости

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, b параллельна плоскости α(m//n), так как проекции прямой b проведены параллельно одноименным проекциям прямой m(m»,m’), лежащей в этой плоскости.

Плоскости пересекающиеся

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:

1-й случай – обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.2 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости α и β, элементом пересечения которых является фронтально-проецирующая прямая m (соответственно, горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная m(m») и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная m(m’) проекция линии пересечения – прямая, перпендикулярная оси x.

2-й случай – только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить.

На рис. 4.3 изображены две пересекающиеся плоскости, из которых плоскость α, заданная своим горизонтальным следом α_h, является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость, заданная треугольником ABC, – плоскость общего положения. Горизонтальная проекция MN(M’N’) искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом αh плоскости α, а фронтальная проекция M»N» линии пересечения построена по принадлежности точек M и N сторонам треугольника ABC.

3-й случай – пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

. Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения является точка!

Пересечение прямой с плоскостью

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая и прямой и плоскости. Поскольку и прямая и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай – и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости.

На рис. 4.4, а изображена горизонтальная плоскость уровня α(m//n), пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k»k’). Фронтальная проекция O(О») точки их пересечения совпадает с фронтальным следом плоскости α_V, а горизонтальная проекция O(O’) точки их пересечения совпадает с вырожденной в точку горизонтальной k(k’) проекцией прямой.

2-й случай – только один элемент (или прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить.

На рис. 4.4, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирующая прямая k(k»,k’) и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения O(O») совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция O(O’) точки пересечения построена по принадлежности точки О плоскости АВС с помощью вспомогательной прямой m.

3-й случай – оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость общего положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построения, чтобы привести условие задачи к более легкому для решения 2-му случаю (см. рис. 4.4), то есть прямую общего положения заменить элементом частного положения, «заключив» эту прямую в плоскость частного положения (см. рис. 3.12 б, в).

На рис. 4.5 показана наглядная картина этого действия. Прямая общего положения k пересекается с плоскостью общего положения α(ABC). Для решения задачи через прямую проведена некоторая вспомогательная плоскость β, то есть прямая «заключена» в плоскость β.

Определяется вспомогательная линия 1-2 пересечения двух плоскостей – заданной и вспомогательной. Искомая точка О лежит на пересечении заданной прямой k и вспомогательной линии пересечения 1-2.

На рис. 4.6 показано построение на ч е р т е ж е точки пересечения O(O»,O’) плоскости общего положения, заданной треугольником CDE, c прямой общего положения k(k»,k’).

Для решения задачи в этом случае выполняется следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Заключить прямую k во вспомогательную, например горизонтально-проецирующую плоскость α, задав ее горизонтальным следом α_H(kα(α_H)).

2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения 1-2(1″-2″,1′-2′) заданной плоскости CDE со вспомогательной плоскостью α(α∩β(∆CDE)):

– 1′-2′ совпадает со следом вспомогательной плоскости α(α_H);

– 1″-2″ строится по принадлежности точек 1 и 2 сторонам CE и DE плоскости β(∆CDE).

3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения O(O»,O’) заданных элементов: – фронтальная проекция O» определяется на пересечении фронтальной проекции заданной прямой k(k») и построенной фронтальной проекции 1″-2″ вспомогательной линии пересечения ((1″-2″)∩ k»);

– горизонтальная проекция O’ определяется на горизонтальной проекции k(k’) заданной прямой по линии связи (O’ k’).

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точкам 1-3 и 4-5.

На рис. 4.6 показано определение относительной видимости заданной прямой k и плоскости CDE с помощью конкурирующих точек, лежащих на скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смотрит сверху вниз по стрелке H. Чтобы определить, какой из элементов – прямая или плоскость – находится ближе к наблюдателю, рассмотрим проекции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче, но на скрещивающихся прямых – точка 1 лежит на прямой СЕ, а точка 3 лежит на прямой k. Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 1 на прямой СЕ, а точка 3 на прямой k расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая k(k’) вниз от точки пересечения (О’) «уходит» плоскость CDE.

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 по стрелке V, определяем относительную видимость прямой и плоскости на фронтальной проекции чертежа – прямая k(k») находится над плоскостью CDE вверх от точки О(О»).

Пересечение двух плоскостей общего положения (3-й случай)

При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два варианта:

Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения линии пересечения. Для варианта «а» рационально использовать две произвольные плоскости частного положения.

На рис. 4.7 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения – α(k∩l) и β(m//n), проекции которых на чертеже не накладываются.

Линия пересечения заданных плоскостей построена по точкам N и M пересечения между собой вспомогательных линий пересечения этих плоскостей произвольными вспомогательными фронтально-проецирующими плоскостями γ₁ и γ₂ в соответствии со следующим графическим алгоритмом:

I. Построить точку N(N»,N’) пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ₁:

1-е действие. Пересечь плоскости α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью уровня γ₁, обозначив ее фронтальный след γ_V1.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1″-2″, 1′-2′) и 3-4(3″-4″, 3′-4′) вспомогательных линий пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной плоскостью γ₁(γ_V1).

3-е действие. Определить проекции точки N(N»,N’) пересечения между собой вспомогательных линий 1-2(1″-2″, 1′-2′) и 3-4(3″-4″, 3′-4′).

II. Построить точку M(M»,M’) пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ₂(γ_V2), повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой линией построенные точки N и M. Если при этом плоскость γ₂(γ_V2) задавать параллельно ранее заданной плоскости γ₁(γ_V1), то построения можно упростить и использовать не четыре, а только две точки 5 и 6, так как пересечение параллельными плоскостями будет давать параллельные вспомогательные линии.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах вариант «б» – проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводится здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плоскостью, то есть к выполнению дважды графического алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.6).

На рис. 4.8 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения – α(ABC) и β(m//n), проекции которых на чертеже накладываются.

Линия пересечения построена по точкам K и M пересечения прямых m и n, которыми задана плоскость β(m//n), с плоскостью α(∆ABC), то есть дважды выполнен вышеприведенный графический алгоритм.

I. Построить точку K(K»,K’) пересечения прямой m с плоскостью α(∆ABC):

1-е действие. «Заключить» прямую m во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ и обозначить ее фронтальный след γ_V.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1″-2″, 1′-2′) вспомогательной линии пересечения плоскостей – заданной α(∆ABC) со вспомогательной γ.

3-е действие. Определить проекции точки K(K»,K’) пересечения прямой m с плоскостью α.

II. Построить проекции точки M(M»,M’) пересечения прямой n с плоскостью α, повторив графические действия 1, 2 и 3 и соединить прямой линией построенные точки K и M.

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения K–M, рассмотрев пары конкурирующих точек:

Структуризация материала четвертой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 4.9 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 4.10–4.12).

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости:

Прямая, параллельная плоскости

Требуется: провести через т.К (К’,К») прямую, параллельную плоскости.

Решение: прямая а//α (m∩n), так как а∩m.

Требуется: провести через т.К (К’,К») плоскость β, параллельную заданной плоскости α(АВС).

Решение: плоскость β(m∩n) // α(АВС), так как m//АВ, а n//ВС.

Требуется: провести через т.К (К’,К») плоскость β, параллельную заданной плоскости α(а//b).

Пересечение плоскостей частного положения

— знак «заключить»

Пересечение плоскости частного положения с плоскостью общего положения

Пересечение прямой частного положения с плоскостью частного положения

Пересечение прямой частного положения с плоскостью общего положения

Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых не накладываются (способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения)

1. Пересечь заданные плоскости α(а//b) и β(АВС) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ₁(γ_V1)

2. Построить линии пересечения заданных плоскостей со вспомогательной:

3. Определить общую точку М(М’,М»), принадлежащую искомой линии пересечения М→1-2∩3-4

4. Повторить алгоритм и построить вторую точку N(N’,N»), принадлежащую искомой линии пересечения МN.

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых накладываются

Линия пересечения плоскостей строится по двум точкам пересечения прямых общего положения с плоскостью общего положения по алгоритму, приведённому для рис. 4.8.

1. Заключить прямую AB во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ₁(γ_V1).

2. Построить линию пересечения 1-2 заданной плоскости α(∆ABC) со вспомогательной плоскостью γ₁.

3. Определить первую общую точку M(M’,M») линии пересечения заданных плоскостей.

4. Повторить алгоритм, заключив прямую α заданной плоскости β (d//e) во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ₂(γ_h2) и определить вторую общую точку N(N»,N’).

6. Определить относительную видимость плоскостей по конкурирующим точкам: 1 и 5, 6 и 3.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник