Какая ломаная называется многоугольником что
Многоугольники
Ломаная — это геометрическая фигура, которая состоит из точек,
соединенных отрезками. Отрезки называются звеньями ломаной,
а точки называются вершинами ломаной. Сумма длин всех
звеньев называется длиной ломаной.
Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой конец последнего
звена совпадает с началом первого звена.
Простая ломаная — это ломаная, у которой нет пересечений.
Многоугольник — это геометрическая фигура с множеством
углов и сторон, или по другому это простая замкнутая ломаная,
у которой соседние звенья не лежат на одной прямой.
Как и у любой другой геометрической фигуры, у многоугольника
есть стороны и углы. Звенья ломаной называют сторонами
многоугольника, а вершины ломаной называют углами
многоугольника. Периметр многоугольника равен сумме
длин всех сторон многоугольника, или по другому длине ломаной.
Соседние вершины многоугольника — это два угла
многоугольника,принадлежащие одной стороне.
Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий
две любые не соседних угла.
Произвольный многоугольник разделяет плоскость на две части.
Одна из частей называется внутренней областью, а другая внешней
областью многоугольника. Углы, которые находятся во внутренней
области называются внутренними, соответственно углы, которые
находятся во внешней области называются внешними.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
— наглядные представления о фигурах на плоскости;
— изображение геометрических фигур.
Многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.
Периметр многоугольника – это сумма всех его сторон.
Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, из каких элементов состоят некоторые геометрические фигуры и как их изобразить на плоскости. Сегодня мы рассмотрим многоугольник.
Ломаная линия лежит в основе построения многоугольника.
Построим ломаную. Для этого отметим на плоскости несколько точек – например, пять. Соединим их так, чтобы никакие два из отрезков, имеющих общие точки, не лежали на одной прямой. Полученная фигура и будет ломаной, которую обозначают A, B, C, D, E.
Отрезки АВ, ВС, СD,DE называются звеньями ломаной. У ломаной, которую мы изобразили, четыре звена.
Если измерить длину каждого звена и найти их сумму, то получится длина ломаной.
Измерим длину ломаной.
Сумма длин всех звеньев равна:
АВ + ВС + СD + DЕ = 14 см – длина ломаной
Теперь нарисуем ломаную таким образом, чтобы её конец совпадал с началом. Получается замкнутая ломаная A, B, C, D, E, А.
Фигуру, образованную таким образом, называют многоугольником. То есть многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.
Стоит помнить, что многоугольником является как замкнутая линия, так и эта линия вместе с плоскостью внутри неё.
Такие звенья называются сторонами многоугольника. В нашем случае это стороны АВ, ВС, СD,DE, ЕА.
Углы, образованные двумя соседними сторонами, называют углами многоугольника, а их вершины – вершинами многоугольника.
∠А, ∠В, ∠С, ∠D, ∠E – углы многоугольника
Точки А, В, С, D, E – вершины многоугольника
Кроме того, у многоугольника есть ещё и диагонали.
Диагональ – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника. АС, СЕ – диагонали.
Сумма всех сторон многоугольника составляет периметр многоугольника.
P = АВ + ВС + СD + DЕ + ЕА
Рассмотрим разновидности многоугольников.
Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Например, многоугольник ABCDE – выпуклый. А многоугольник MNKLO – нет.
По числу сторон многоугольники делятся на треугольники, пятиугольники и так далее.
Кроме того, многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называют правильными. Например, квадрат.
Многоугольники можно сравнить путём наложения. Если они полностью накладываются друг на друга, то считаются равными. При этом стоит помнить, они имеют одинаковые площади.
Для определения площади многоугольника надо выяснить, сколько раз выбранная единица измерения содержится в этой фигуре.
Не только человек может рисовать многоугольники. Природа тоже создаёт многоугольники в большом разнообразии. Рассмотрим, где они встречаются. Например, шестиугольники можно увидеть в сотах пчёл и – под микроскопом – в строении глаза мухи или некоторых других насекомых.
Панцирь черепахи тоже изобилует большим количеством многоугольников. Как и кожа змеи: она буквально покрыта многоугольниками. В общем, природа постаралась и разнообразила мир геометрическими фигурами.
№ 1. Чему равен периметр правильного шестиугольника со стороной 4 см?
Решение: для решения этой задачи достаточно вспомнить, что в правильных фигурах все стороны равны, следовательно, все стороны шестиугольника равны 4 см. Вычислим периметр шестиугольника, это сумма всех его сторон.
Р = 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см = 24 см
№ 2. Из листа железа размером 10 × 14 см вырезали два квадрата со стороной 4 см и три прямоугольника со сторонами 2см и 6см. Определите площадь остатка.
Решение: сначала найдём площадь листа:
S = 10 cм · 14 см = 140 см 2
Далее вычислим площадь квадратов со сторонами 4см:
S = 4 cм · 4 см = 16 см 2
Тогда площадь двух квадратов равна:
16 см 2 · 2 = 32 см 2
Найдём площадь прямоугольника:
S = 2 cм · 6 см = 12 см 2
Тогда площадь трёх прямоугольников равна:
12 см 2 · 3 = 36 см 2
Определим площади всех квадратов и прямоугольников, вырезанных из листа:
32 см 2 + 36 см 2 = 68 см 2
А теперь найдём площадь остатка: 140 см 2 – 68 см 2 = 72 см 2
Геометрическая фигура многоугольник
Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов.
Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон, по количеству которых получают свои названия многоугольники.
Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков — четырехугольником, из пяти — пятиугольником и пр.
Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку — по часовой стрелке или против нее.
Основные понятия
Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:
Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:
Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.
Виды фигур
Треугольник
Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.
Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.
По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:
Кроме того, принято различать следующие треугольники:
Четырехугольник
Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.
На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.
Видео
Дополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.
» width=»560″ height=»314″ allowfullscreen=»allowfullscreen»>Ломаная линия
Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.
Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной.
Построим ломаную из четырёх отрезков:
Замкнутая и незамкнутая ломаная
Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:
незамкнутая ломаная ABCD.
Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:
замкнутая ломаная ABC.
Самопересекающаяся ломаная
Замкнутые и незамкнутые ломаные линии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся ломаная — это ломаная линия, звенья которой пересекают другу друга в одной или нескольких точках. Например:
точки F, T, K — точки самопересечения, то есть точки, в которых ломаная пересекает сама себя.
Длина ломаной
Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющий самопересечений, то есть длина многоугольника, называется периметром.
Пример 1. Найти длину ломаной из 3 звеньев.
Решение: Для нахождения длины ломаной, состоящей из трёх звеньев, надо сложить длины всех её звеньев. Длина ломаной ABCD будет равна:
AB + BC + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.
Ответ: Длина ломаной ABCD равна 9 см.
Пример 2. Найти длину замкнутой ломаной.
Решение: Найдём периметр замкнутой ломаной, сложив длины всех её звеньев:
AB + BC + CD + DA =
3 см + 5 см + 4 см + 5 см = 17 см.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.Четырехугольники
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).
Виды четырёхугольников
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограммаСвойства параллелограмма
* противолежащие стороны равны;
* противоположные углы равны;
* диагонали точкой пересечения делятся пополам;
* сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
* сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2).
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.Трапеция
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции
* ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
* если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
* если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
* если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольникаСвойства прямоугольника
* все свойства параллелограмма;
* диагонали равны.
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромбаСвойства ромба
* все свойства параллелограмма;
* диагонали перпендикулярны;
* диагонали являются биссектрисами его углов.
1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадратаСвойства квадрата
* все углы квадрата прямые;
* диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.