Квадратичная функция что обозначает а б с
Квадратичная функция что обозначает а б с
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.
В данном случае а = 0,5
А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)
тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.
тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.
тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.
Алгоритм нахождения коэффициентов а, в и с по графику квадратичной функции
Описание презентации по отдельным слайдам:
Алгоритм нахождения значения коэффициентов a, b, c по графику квадратичной функции y= ax2 +bx+c. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.
Нахождение коэффициента a 1) по графику параболы определяем координаты вершины (m,n) 2) по графику параболы определяем координаты любой точки А (х1;у1) 3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде: 4) решаем полученное уравнение.
По графику функции найдите значения коэффициентов a, b, c
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-373901
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Пик использования смартфонов приходится на 16 лет
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует выделить «Профессионалитет» в отдельный уровень образования
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Квадратичная функция.
Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax 2 + bx + c = 0·x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x 2 − 2x или x 2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 и x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.
Если стоит задача, определить значения переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax 2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.
Если существуют действительные корни x1 и x2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax 2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.
Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х, т.е. определить y из выражения y = ax 2 + bx + c, то имеем дело с квадратичной функцией.
При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции.
Квадратный трёхчлен также можно представить в виде
Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.
.
Графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой находится в точке 
.
Парабола обладает еще одним интересным свойством, которое также используется как её определение.
Парабола представляет собой множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до определенной прямой, называемой директрисой параболы.
Построить эскиз графика квадратичной функции можно по характерным точкам.
Например, для функции y = x 2 берем точки
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 0 | 1 | 4 | 9 |
Соединяя их от руки, строим правую половинку параболы. Левую получаем симметричным отраженим относительно оси ординат.
Для построения эскиза графика квадратичной функции общего вида в качестве характерных точек удобно брать координаты её вершины, нули функции (корни уравнения), если они есть, точку пересечения с осью ординат (при x = 0, y = c) и симметричную ей относительно оси параболы точку (−b/a; c).
| x | −b/2a | x1 | x2 | 0 | −b/a |
| y | −(b 2 − 4ac)/4a | 0 | 0 | с | с |
| при D ≥ 0 | |||||
Производная квадратичной функции вычисляется по формуле (ax 2 + bx + c)’ = 2ax + b.
Формулы для такого перехода можно выучить наизусть, а можно научиться выделять полный квадрат из трёхчлена с заданными коэффициентами. Это умение весьма полезно также для решения некоторых уравнений и неравенств, для вычисления интегралов и т.д.
Итак, чтобы построить график функции y = 3x 2 − 5x + 2 из графика y = x 2 нужно последний сдвинуть по оси Ox вправо на 5/6 ≈ 0,83 единицы. Затем растянуть вдоль оси Oy в 3 раза и, наконец, опустить по оси Oy на 1/12 ≈ 0,08 единицы.
Посмотрите, что получилось. 
Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.
Преобразуем выражение с выделением полного квадрата: 
Строим график функции 
.
Видеоуроки с параболой.
Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена.
Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения параметра c.
Построение параболы по характерным точкам.
Быстрое построение параболы как графика квадратичной функции.
Другие случаи. Примеры построения.
Задачи на анализ графика квадратичной функции.
Задания вида «Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции» встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
Определение и формула квадратичной функции
Квадратичной называют функцию канонического вида:
Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.
Примеры построения парабол
Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.
График функции при а = 1, b = c = 0
Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:
Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.
Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».
Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.
Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).
График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а y = 2x 2
Ветви «сожмутся» относительно оси симметрии.
Построим другой график.
Куда интереснее переместить коэффициент a в отрицательную область.
Парабола «повернется» на 180°. И вершина станет максимумом.
График функции при b = 0, с ≠0
Рассмотрим такой вариант:
Вершина сдвинется на величину c по оси Y.
А если параметр c отрицателен? Уравнение выглядит так:
Смещение произойдет ниже точки (0; 0).
Общий случай a ≠0, b ≠0, c ≠0
Попробуем найти характерные точки.
Пересечения с осью абсцисс (y = 0)
Иными словами, следует решить уравнение:
Корнями уравнения будут:
Подкоренное выражение называется «дискриминант» и обозначается «D». Появляются варианты:
D отрицателен, D > 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.
D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.
D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.
Вершина
Горизонтальная координата вычисляется по формуле:
Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:
Нашли x0, а y0 находится подстановкой в уравнение найденного.
Ось симметрии
Параллельная оси ординат прямая x = x0.
Приблизительный вид
По уравнению можно прикинуть общую картину:
положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;
по дискриминанту определим расположение относительно X;
находим пересечения (если есть).
Пример построения графика
a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;
Алгоритм построения графика квадратичной функции:
2. Определяем точки пересечения с осью X:
Свойства параболы
Основные свойства следующие:
Область определения – все действительные числа.
Координаты вершины зависят только от коэффициентов.
Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.
Заключение
В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.
Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.
Математика
Тестирование онлайн
Определение. График
Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида
Графиком квадратичной функции является парабола.
Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка
Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a 2
1) Областью определения функции 
является множество всех действительных чисел, т.е. 
2) Множеством значений функции является промежуток 
3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.
4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.
7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.
8) На промежутке 
функция убывающая, а на промежутке 
— возрастающая.
9) Функция принимает положительные значения на множестве 
, т.е. все точки параболы, кроме начала координат.
Преобразование параболы
Квадратичную функцию 
всегда можно привести у виду 
, а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.
Для построения параболы необходимо:
1) Найти координаты вершины
2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы
3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение 
4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение 