Какой шанс что монетка встанет на ребро
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Теория вероятностей: ребро монетки
 |
Последний раз редактировалось Лукомор 30.01.2017, 05:38, всего редактировалось 1 раз.
 |
 |
Последний раз редактировалось Shtorm 30.01.2017, 13:41, всего редактировалось 6 раз(а).
Вроде говорят, что 1 к 6000
Конечно, зависит от монеты.
Интересно увидеть их расчёт.
Это при изменении соотношения от 
до 
?
|
Там, в книге, рисунок есть, поясняющий это действо.
Как я понял, если нормаль к горизонтальной поверхности пола через центр тяжести монеты проходит через ребро монеты, то монета встанет на ребро, а если через одну из сторон, то она упадет на сторону.
По поводу липкого пола ничего сказать не могу, на этом нигде не акцентируется внимание.
Толстая монета
Задача
Подбрасывая монетку, мы ожидаем, что выпадет или орел, или решка. Впрочем, иногда случается, что монетка падает и на ребро. Это, например, произошло, когда судья определял право розыгрыша мяча перед началом футбольного матча между сборными Колумбии и Парагвая на Кубке Америки 2016 года. Но там, очевидно, монетка застряла в траве.
В задачах по теории вероятности такие случаи не рассматривают, считая, что у математической монетки есть только две стороны, на которые она падает с равной вероятностью.
Давайте исправим эту несправедливость и дадим ребру монеты равные «права» с орлом и решкой: какой толщины должна быть монета, чтобы она выпадала и на стороны, и на ребро с одинаковой вероятностью 1/3?
Примечание. Для определенности считайте, что монета — это прямой круговой цилиндр с равномерно распределенной массой и что она падает на ровную поверхность без подскоков, как бы замирая на мгновение сразу после касания, после чего спокойно опускается на одну из двух сторон или на ребро в зависимости от своего положения при касании с поверхностью.
Подсказка
Рассмотрим монету в то мгновение, на которое она замирает, впервые коснувшись стола. Ребро мы тоже будем дальше называть стороной, то есть монетку считаем трехсторонней. В момент касания дальнейшая судьба монетки определяется только тем, как она расположена относительно вертикально направленной силы тяжести: она упадет на ту сторону, которую первой пересечет вектор силы тяжести (или его продолжение), идущий из центра масс монетки.
Поскольку подброс случайный, то и положение монетки в момент касания случайно. Значит, если взглянуть на эту ситуацию с точки зрения монетки (то есть считать, что она не двигается, а это весь мир вертится вокруг нее), то в момент касания направление вектора силы тяжести может быть любым и все направления равновероятны. То есть на сфере, которую образуют все возможные положения этого вектора, возникают три области, соответствующие сторонам монетки. А вероятности выпадения пропорциональны площадям этих областей. Осталось только понять, как они устроены, и посчитать площади.
Решение
Будем считать, что сфера из подсказки описана вокруг монетки (которую мы считаем цилиндром), — это чуть-чуть упростит дальнейшие рассуждения (такое допущение ни на что не влияет, потому что мы рассматриваем подобные сферы и все рассуждения про соотношения площадей и размеров от этого не страдают). Тогда на сфере возникают три области: две «шапки», соответствующие сторонам монетки, и полоса между ними, соответствующая ребру (рис. 1, слева). Чтобы у ребра была такая же вероятность выпадения, как у двух других сторон, нужно, чтобы площади всех трех областей были равны.
Рис. 1. Вид на монетку и описанную вокруг нее сферу сбоку. Если вектор силы тяжести попадает в верхнюю или нижнюю шапки, то монетка упадет на сторону. Если этот вектор попадает в пояс посередине, то монетка встанет на ребро
То есть задача свелась к вычислению площади сферической полосы, «зажатой» между двух плоскостей. Ее можно считать по-разному, но мы сейчас используем замечательное свойство сферы: оказывается, площадь такой полосы зависит только от расстояния между плоскостями (то есть не зависит от их положения относительно сферы). Из этого сразу следует, что толщина монетки должна быть равной трети диаметра сферы.
Послесловие
Возможно, у вас при решении получался ответ, в котором толщина монетки была в корень из 3 раз меньше ее диаметра. Скорее всего, вы считали вероятности, исходя из длин дуг окружности, описанной вокруг прямоугольника (сечения монетки плоскостью, проходящей через ее центр перпендикулярно боковой стороне монетки). Если так, то вы совершенно правильно посчитали.
Рис. 2. «Плоская» модель вращения монетки
Ваш ответ отличается от полученного выше, но это не значит, что он неправильный. Дело здесь не в подсчете, а в выборе модели того, как ведет себя монетка при броске. В решении было принято, что она может вращаться как угодно, и поэтому при приземлении может располагаться любым способом относительно поверхности. А вот если рассматривать вращение монетки только в одной плоскости, то и получается, что возможные направления вектора силы тяжести составляют окружность, а условие на равенство вероятностей означает, что ребро монетки должно быть видно из ее центра под углом 60°.
Разные модели приводят к разным вероятностным пространствам — это нормально. Мне кажется, что в данном случае поведение монетки лучше описывается именно моделью из решения. Некоторым подкреплением здесь служит байка о том, что Джон фон Нейман, которому задали вопрос этой задачи, когда он садился в такси, сообщил таксисту свой адрес и сразу же ответил. Причем, ровно так, как в решении. Правда это или нет — не знаю, но эта байка сопровождает задачу о «толстой» монете уже давно. Например, она приводится в прекрасной книжке Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».
Что касается трюка в решении, благодаря которому не пришлось площадь поверхности сферического слоя, то этот факт — площадь слоя поверхности сферы между двумя параллельными плоскостями зависит только от расстояния между плоскостями (и не зависит от их положения относительно сферы) — можно установить разными способами. Например, можно «в лоб» найти эту площадь — найдя соответствующий интеграл. Или можно провести более «геометрическое» рассуждение (см. Spherical Surfaces and Hat Boxes). Кстати, оказывается, что площадь такого сферического слоя равна площади слоя, который эти же плоскости высекают на поверхности цилиндра, описанного вокруг данной сферы. Видимо, поэтому этот факт в англоязычной литературе называют «Теоремой о шляпных коробках» (Hat-Box Theorem).
Этот трюк, например, позволяет относительно просто решить следующую непростую задачку. Привожу ее формулировку ниже, а решение примерно через неделю появится в комментариях к этой задаче.
На плоскости нарисован круг радиуса 1. Имеется набор полосок бумаги бесконечной длины с параллельными краями. Полоски могут быть разной толщины, известно лишь, что их суммарная толщина меньше 1. Существует ли набор полосок с такими свойствами, которым можно покрыть полностью данный круг?
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Теория вероятностей: ребро монетки
|
И вот у меня вопрос к участникам форума: для равновероятного выпадения, нужно сделать чтобы площадь боковой поверхности была равна площади основания? Или чтобы площадь вертикального сечения цилиндра (в сечении прямоугольник) была равна площади основания цилиндра?
Итак вопрос: насколько верно я излагаю студентам это дело? И как бы Вы на моём месте поступили? Или как поступаете на моём месте?
 |
Последний раз редактировалось Ether 30.01.2017, 01:32, всего редактировалось 1 раз.
Как мне кажется, для правильной двугранной монеты вероятность выпадения грани не будет зависеть от области изменения внешних условий при достаточной величине этой области.
Равновероятность выпадения граней толстой «трехгранной» монеты будет зависеть не только от её толщины, но и от внешних условий. Т.е. при изменении области внешних условий вероятность выпадения круглой грани и ребра для одной и той же «толстой» монеты может различаться, при том, что вероятность выпадения одной круглой грани будет равна вероятности выпадения другой круглой грани.
| Заслуженный участник |
|
Shtorm
Вот ещё один ответ можно добавить насчёт реальной монеты: пусть даже мы решили, как точно определить, что значит «встала на ребро» (а также «зависла в воздухе», «раздвоилась», «превратилась в горшок с петунией» и т. д.), а ещё лучше — точно определили себе, что значит, что она приземлилась на одну или вторую сторону, ведь это-то нам и надо. Тогда мы можем рассматривать только случаи, когда она приземлилась на одну из этих сторон, а когда встала на ребро — перекидывать. Тут вот как раз сегодня в другой теме поминали то, что условная вероятность — это обычная вероятность в «усечённом» вероятностном пространстве, и — не важно, какое у нас там было пространство, моделирующее капризную монету с выкрутасами — мы всегда сможем себе откусить от него пространство, моделирующее хорошую, приземляющуюся только двумя способами.
Про вероятность выпадения ребром в липком случае: даже если монета застревает накрепко и ничуть не наклоняется, всё ещё более-менее просто и зависит от того, считаем ли мы равномерно распределённой на сфере нормаль к монете или, скажем, угол между ней и горизонтом, и после этого ещё считать и считать. Почему вы решили, что достаточно сравнить площади?
 |
|
Последний раз редактировалось Ether 30.01.2017, 01:43, всего редактировалось 5 раз(а).
Ну, для достаточно толстой монеты или цилиндра количество специсходов может быть достаточно существенным, и может быть хочется рассмотреть именно такую монету или цилиндр. С точки зрения теории и обоснования моделей это может быть интересным. Почему нет?
| Заслуженный участник |
 |
|
Последний раз редактировалось Ether 30.01.2017, 01:51, всего редактировалось 1 раз.
Например необходимо построить физическую модель падения монеты, максимально приближенную к реальности. Для этого рассчитанные по физической модели вероятности должны будут соответствовать экспериментальным.
Задача непростая, но вполне может иметь место быть.
|
Последний раз редактировалось Shtorm 30.01.2017, 01:56, всего редактировалось 2 раз(а).
Хорошо. Забудем про монету. Подбрасываем цилиндрик. Как здесь быть?
Поддерживаю! 
| Заслуженный участник |
|
|
Последний раз редактировалось Shtorm 30.01.2017, 02:02, всего редактировалось 2 раз(а).
|
Последний раз редактировалось Ether 30.01.2017, 02:21, всего редактировалось 3 раз(а).
Это идеальный симметричный случай, при котором существует равновероятность выпадения граней независимо от области в которой изменяются случайным образом внешние условия, при её достаточной величине. Можно рассматривать его как монету с ребром нулевой толщины.
При появлении асимметрии в геометрии монеты равновероятность выпадения граней будет уже зависеть не только от геометрии монеты, но и от области в которой изменяются внешние условия.
|
| Заслуженный участник |
 |
Вроде говорят, что 1 к 6000
Конечно, зависит от монеты.
|
| Заслуженный участник |
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Какой шанс что монетка встанет на ребро
∀ x, y, z запись закреплена
Подбрасывая монетку, мы ожидаем, что выпадет или орел, или решка. Впрочем, иногда случается, что монетка падает и на ребро. Это, например, произошло, когда судья определял право розыгрыша мяча перед началом футбольного матча между сборными Колумбии и Парагвая на Кубке Америки 2016 года. Но там, очевидно, монетка застряла в траве.
В задачах по теории вероятности такие случаи не рассматривают, считая, что у математической монетки есть только две стороны, на которые она падает с равной вероятностью.
Давайте исправим эту несправедливость и дадим ребру монеты равные «права» с орлом и решкой: какой толщины должна быть монета, чтобы она выпадала и на стороны, и на ребро с одинаковой вероятностью 1/3?
Примечание. Для определенности считайте, что монета — это прямой круговой цилиндр с равномерно распределенной массой и что она падает на ровную поверхность без подскоков, как бы замирая на мгновение сразу после касания, после чего спокойно опускается на одну из двух сторон или на ребро в зависимости от своего положения при касании с поверхностью.
Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).
1. Классическое определение вероятности
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.
Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Взяли разгон и переходим к 4 монетам.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.
2. Комбинаторика + классическая вероятность
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.
Например, если рассмотреть подобную задачу:
Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).
Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
Способ 3. Формула Бернулли
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.
Полезные ссылки
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):